【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的x值;
【答案】(1);[,],k∈Z;(2)詳見解析
【解析】
(1)利用二倍角公式和輔助角公式化簡f(x)解析式,由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得函數(shù)周期和單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)最大值和最小值及相應(yīng)的x值.
(1)∵f(x)=4sin3xcosx-2sinxcosx-cos4x
=sin2x×(1-cos2x)-sin2x-cos4x
=-sin4x-cos4x
=-sin(4x+),
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=.
∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,可得:,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[,],k∈Z;
(2)∵x∈[0,],
∴4x+,
∴sin(4x+)∈[-,1],
∴f(x)=-sin(4x+)∈[-,],
可得當(dāng)x=時,f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值為,
當(dāng)x=時,取得最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+x有兩個零點(diǎn),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(﹣∞,1)
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某重點(diǎn)中學(xué)100位學(xué)生在市統(tǒng)考中的理科綜合分?jǐn)?shù),以, , , , , , 分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求理科綜合分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在理科綜合分?jǐn)?shù)為, , , 的四組學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取11名學(xué)生,則理科綜合分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中應(yīng)抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓滿足:①圓心在第一象限,截軸所得弦長為2;②被軸分成兩段圓弧,其弧長的比為;③圓心到直線的距離為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn),過點(diǎn)分別做圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為, ,求證:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)滿足關(guān)系g(x)=f(x)f(x+α),其中α是常數(shù).
(1)設(shè)f(x)=cosx+sinx,,求g(x)的解析式;
(2)設(shè)計一個函數(shù)f(x)及一個α的值,使得;
(3)當(dāng)f(x)=|sinx|+cosx,時,存在x1,x2∈R,對任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓 =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是m,滿足Mm= a2 .
(1)求該橢圓的離心率;
(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G,AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).記△GFD的面積為S1 , △OED的面積為S2 , 求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,
(1)求證:EF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值.
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