如圖,ABCD是邊長為2的正方形紙片,沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點B都落在邊AD上,記為B';折痕與AB交于點E,以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB.若以B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖):
(Ⅰ).求點M的軌跡方程;
(Ⅱ).若曲線S是由點M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的,等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1,B1C1,C1D1分別與曲線S切于點P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面積的最小值.
分析:(1)設(shè)出M的坐標(biāo),根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱時兩點連線與對稱軸垂直,且兩點的中點在對稱軸上,再根據(jù)平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量等于兩鄰邊對應(yīng)向量的和得到點M的軌跡方程;
(2)利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率,求出腰A1B1的方程,分別令y=0和y=1求出與兩底的交點橫坐標(biāo),利用梯形的面積公式表示出梯形A1B1C1D1面積,利用基本不等式求出其最小值.
解答:解:(1)如圖,設(shè)M(x,y),B′(x0,2),又E(0,b)
顯然直線l的斜率存在,故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b,,則kBB/=
2
x0
=-
1
k
⇒k=-
x0
2

而BB′的中點(
x0
2
,1)
在直線l上,
(-
x0
2
)•
x0
2
+b=1⇒b=1+
x
2
0
4
,①
由于
EM
=
EB
+
EB′
(x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)⇒
x=x0
y=2-b
代入①即得y=-
x2
4
+1
,又0≤x0≤2點M的軌跡方程y=-
x2
4
+1
(0≤x≤2)-------------(6分)
(2)易知曲線S的方程為y=-
x2
4
+1
(-2≤x≤2)
設(shè)梯形A1B1C1D1的面積為s,點P的坐標(biāo)為(t,-
1
4
t2+1)(0<t≤2)

由題意得,點Q的坐標(biāo)為(0,1),直線B1C1的方程為y=1.
對于y=-
x2
4
+1
y′=-
x
2

y′|x=t=-
t
2

∴直線A1B1的方程為y-(-
1
4
t2+1)=-
t
2
(x-t)
,
即:y=-
t
2
x+
1
4
t2+1
令y=0得,x=
t2+4
2t
,
A1(
t2+4
2t
,0)

令y=1得,x=
1
2
t
,
B1(
1
2
t,1)

所以s=
1
2
×(
1
2
t+
t2+4
2t
)×1×2=t+
2
t
≥2
2

當(dāng)且僅當(dāng)t=
2
t
,即t=
2
時,取“=”且
2
∈(0,2]
,t=
2
時,
s有最小值為2
2
.梯形A1B1C1D1的面積的最小值為2
2
----------(15分)
點評:本題考查兩點關(guān)于一條直線對稱的充要條件;向量運算的幾何意義;曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率;利用基本不等式求函數(shù)的最值.屬于一道難題.
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精英家教網(wǎng)如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

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(1)求cos<
AB
PD
>的值;
(2)若E為AB的中點,F(xiàn)為PD的中點,求|
EF
|的值;
(3)求二面角P-BC-D的大小.

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如圖,ABCD是邊長為2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,EF∥AB,且EF=1,O是線段AD的中點,三棱錐F-OBC的體積為
23
,
(1)求證:OF⊥面FBC;
(2)求二面角B-OF-C的余弦值.

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(2012•寧城縣模擬)如圖,ABCD是邊長為1的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求點F到平面BDE的距離.

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