【題目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx), =(﹣cosωx﹣sinωx,2 cosωx),設(shè)函數(shù)f(x)= +λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈( ,1)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)( ,0)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)= +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2 cosωx+λ
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx+λ
= sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣ )+λ
∵圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,∴2πω﹣ = +kπ,k∈z
∴ω= + ,又ω∈( ,1)
∴k=1時(shí),ω=
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為 =
(2)解:∵f( )=0
∴2sin(2× × ﹣ )+λ=0
∴λ=﹣
∴f(x)=2sin( x﹣ )﹣
由x∈[0, ]
∴ x﹣ ∈[﹣ , ]
∴sin( x﹣ )∈[﹣ ,1]
∴2sin( x﹣ )﹣ =f(x)∈[﹣1﹣ ,2﹣ ]
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的取值范圍為[﹣1﹣ ,2﹣ ]
【解析】(1)先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),求函數(shù)f(x)的解析式,再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+k型函數(shù),最后利用函數(shù)的對(duì)稱性和ω的范圍,計(jì)算ω的值,從而得函數(shù)的最小正周期;(2)先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,求得λ的值,再求內(nèi)層函數(shù)的值域,最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
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【題目】已知曲線,直線(為參數(shù))
寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線,交于點(diǎn),求的最大值與最小值.
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【題目】購買一件售價(jià)為5 000元的商品,采用分期付款的辦法,每期付款數(shù)相同,購買后1個(gè)月付款一次,過1個(gè)月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算(上月利息計(jì)入下月本金),那么每期應(yīng)付款多少元?(精確到1元)
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【題目】在銳角△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的邊長,且滿足a-2bsin A=0.
(1)求角B的大;
(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.
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【題目】如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn).
求證:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面QMN∥平面PAD.
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【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值和最大值;
(2)當(dāng)a≤0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】交通部門對(duì)某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控,從速度在50﹣90km/h的汽車中抽取150輛進(jìn)行分析,得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,則速度在70km/h以下的汽車有輛.
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