Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為8的正三角形，SA=SC=2

7

，二面角S-AC-B的大小為60^°
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點D，連接SD，BD，證明SD⊥AC，BD⊥AC，說明AC⊥面SBD，即可證明AC⊥SB．
（2）過S作SO⊥BD于O，說明∠SDB為二面角S-AC-B平面角，求出SO，然后求出幾何體的體積．

解答：解（1）取AC的中點D，連接SD，BD，
∵SA=SC，D為AC的中點，
∴SD⊥AC∵AB=BC，D為AC的中點，∴BD⊥AC，又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD，
又SB?面SBD，∴AC⊥SB…（6分）
（2）過S作SO⊥BD于O，∵AC⊥面SBD，又AC?平面ABC∴平面SBD⊥平面ABC，又SO⊥BD∴SO⊥平面ABC
在Rt△SAD中，SA=2

7

，AD=

1

2

AC=4，∴SD=

28-16

=2

3

∵SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB為二面角S-AC-B平面角，∴∠SDB=60°，
在Rt△SDO中，SO=SD•sin∠SDO=2

3

×

3

2

=3
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

1

3

×

3

4

×64×3=16

3

…（12分）

點評：本題是中檔題，考查空間幾何體的直線與直線的位置關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．