已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點為直線上的點,求直線的方程;
(Ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.
(1) (2) (3)
解析試題分析: (1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值,便可確定拋物線方程;(2)利用求導(dǎo)的思路確定拋物線的兩條切線,借助均過點P,得到直線方程;(3)通過直線與拋物線聯(lián)立,借助韋達定理將進行轉(zhuǎn)化處理,通過參數(shù)的消減得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵,然后利用二次函數(shù)求最值,需注意變量的范圍.
試題解析:(1)依題意,解得(負根舍去) (2分)
拋物線的方程為; (4分)
(2)設(shè)點,,由,即得.
∴拋物線在點處的切線的方程為,即. (5分)
因為在切線上且所以,
從而同理,, (6分)
不妨取,所以, (7分)
又,∴直線 的方程為 (8分)
(3)依據(jù)(2)由 得, (9分)
于是, (10分)
所以
又,所以, (11分)
從而 (12分)
考點:拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動點,點是線段的垂直平分線與直線的交點.
(1)求點的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點是曲線上任意一點,寫出曲線在點處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過切點與直線垂直,點關(guān)于直線的對稱點為,證明:直線恒過一定點,并求定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
矩形的中心在坐標原點,邊與軸平行,=8,=6.分別是矩形四條邊的中點,是線段的四等分點,是線段的四等分點.設(shè)直線與,與,與的交點依次為.
(1)以為長軸,以為短軸的橢圓Q的方程;
(2)根據(jù)條件可判定點都在(1)中的橢圓Q上,請以點L為例,給出證明(即證明點L在橢圓Q上).
(3)設(shè)線段的(等分點從左向右依次為,線段的等分點從上向下依次為,那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上?(寫出結(jié)果即可,此問不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓C的頂點,B是直線AF2與橢圓C的另一個交點,∠F1AF2=60°
(1)求橢圓C的離心率;
(2)已知△AF1B的面積為40,求a,b的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜率為的直線過拋物線的焦點,與拋物線交于兩點A、B, M為拋物線弧AB上的動點.
(Ⅰ).若,求拋物線的方程;
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標系上取兩個定點,再取兩個動點且.
(I)求直線與交點的軌跡的方程;
(II)已知,設(shè)直線:與(I)中的軌跡交于、兩點,直線、 的傾斜角分別為且,求證:直線過定點,并求該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:,過點作圓的切線交橢圓于A,B兩點。
(1)求橢圓的焦點坐標和離心率;
(2)求的取值范圍;
(3)將表示為的函數(shù),并求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某跳水運動員在一次跳水訓(xùn)練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段,已知跳水板長為2m,跳水板距水面的高為3m,=5m,=6m,為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,訓(xùn)練時跳水曲線應(yīng)在離起跳點m()時達到距水面最大高度4m,規(guī)定:以為橫軸,為縱軸建立直角坐標系.
(1)當=1時,求跳水曲線所在的拋物線方程;
(2)若跳水運動員在區(qū)域內(nèi)入水時才能達到壓水花的訓(xùn)練要求,求達到壓水花的訓(xùn)練要求時的取值范圍.
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