Question

已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.
(1)求f的值；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的解析式及其單調(diào)遞減區(qū)間

Answer 1

(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2＝2sin.
因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin.
即－sin ωxcos＋cos ωxsin
＝sin ωxcos＋cos ωxsin，
整理得sin ωxcos＝0.
因?yàn)棣?gt;0，且x∈R，所以cos＝0.
又因?yàn)?<φ<π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cos ωx.
由題意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos 2x.
因此f＝2cos＝.
(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到f的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到
f的圖象．
所以g(x)＝f＝2cos
＝2cos.
當(dāng)2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，
因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)

略