【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),給出以下命題:
①當(dāng)為正三角形時(shí),的值為;
②存在點(diǎn),使得;
③若,則等于;
④的最小值為,則等于或.
其中正確的是( )
A.①③④B.②③C.①③D.②③④
【答案】A
【解析】
對(duì)于①可知,當(dāng)為正三角形時(shí)與準(zhǔn)線垂直,畫出圖形結(jié)合幾何關(guān)系即可求得的值;對(duì)于②根據(jù)向量關(guān)系可知,結(jié)合點(diǎn)的位置即可判斷;對(duì)于③,作出幾何圖形,根據(jù)線段比例關(guān)系即可求得的值;對(duì)于④,作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn),連接交準(zhǔn)線于,可知即為的最小值,根據(jù)線段幾何關(guān)系及最小值即可求得的值.
對(duì)于①,當(dāng)為正三角形時(shí),如下圖所示,
拋物線的準(zhǔn)線交軸于,
,由拋物線定義可知,則與準(zhǔn)線垂直,
所以,
則,所以,
而,即,所以①正確;
對(duì)于②,假設(shè)存在點(diǎn),使得,即,
所以點(diǎn)為的中點(diǎn),
由拋物線圖像與性質(zhì)可知,為拋物線上一點(diǎn),為焦點(diǎn),線段在軸右側(cè),
點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上,在軸左側(cè),因而不可能為的中點(diǎn),所以②錯(cuò)誤;
對(duì)于③,若,則,作垂直于準(zhǔn)線并交于,準(zhǔn)線交軸于,如下圖所示:
由拋物線定義可知,
根據(jù)相似三角形中對(duì)應(yīng)線段成比例可知,即,
解得,所以③正確;
對(duì)于④,作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn),連接交準(zhǔn)線于,作垂直于準(zhǔn)線并交于,作垂直于軸并交于,如下圖所示:
根據(jù)對(duì)稱性可知,此時(shí)即為的最小值,
由拋物線定義可知,所以的橫坐標(biāo)為,
代入拋物線可知,
的最小值為,,
則,即,
化簡(jiǎn)可得,即,
解得或,所以④正確;
綜上所述,正確的為①③④.
故選:A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.若將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍,得曲線.
(1)寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn), 直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個(gè)知識(shí)答題游戲節(jié)目,答題分兩輪,第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則是:每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題,答對(duì)一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,已知甲能答對(duì)備選5道題中的每道題的概率都是,乙恰能答對(duì)備選5道題中的其中3道題;第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則是:先確定一人坐莊答題,若答對(duì),繼續(xù)答下一題…,直到答錯(cuò),則換人(換莊)答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊,則他答第1題,若答對(duì)繼續(xù)答第2題,如果第2題也答對(duì),繼續(xù)答第3題,直到他答錯(cuò)則換成乙坐莊開始答下一題,…直到乙答錯(cuò)再換成甲坐莊答題,依次類推兩人共計(jì)答完20道題游戲結(jié)束,假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答,且記第道題也由該同學(xué)(最先答題的同學(xué))作答的概率為(),其中,已知供甲乙回答的20道題中,甲,乙兩人答對(duì)其中每道題的概率都是,如果某位同學(xué)有機(jī)會(huì)答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分,答錯(cuò)(不答視為答錯(cuò))則減5分,甲乙答題相互獨(dú)立;兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問(wèn)題
(1)請(qǐng)預(yù)測(cè)第二輪最先開始作答的是誰(shuí)?并說(shuō)明理由
(2)①求第二輪答題中,;
②求證為等比數(shù)列,并求()的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)共有4000人,為了了解各年級(jí)學(xué)周末在家的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)通過(guò)分層抽樣的方法獲得相關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)),其中高一學(xué)生周末的平均學(xué)習(xí)時(shí)間記為.
高一:14 15 15.5 16.5 17 17 18 19
高二:15 16 16 16 17 17 18.5
高三:16 17 18 21.5 24
(1)求每個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù);
(2)從高三被抽查的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求2人學(xué)習(xí)時(shí)間均超過(guò)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某學(xué)校中選出名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了名學(xué)生一周的戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間(分鐘)總和,得到如圖所示的頻率分布直方圖和統(tǒng)計(jì)表格.
(1)寫出的值,并估計(jì)該學(xué)校人均每周的戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)假設(shè),則戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為的學(xué)生中,男生人數(shù)比女生人數(shù)多的概率.
(3)若,完成下列列聯(lián)表,并回答能否有90%的把握認(rèn)為“每周至少運(yùn)動(dòng)130分鐘與性別有關(guān)”?
每周戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于130分鐘 | 每周戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間少于130分鐘 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),兩點(diǎn)分別是橢圓的上,下頂點(diǎn),是等腰直角三角形,延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),且的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),直線與直分別相交于兩點(diǎn),點(diǎn),求證:的外接圓恒過(guò)原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為實(shí)數(shù),用表示不超過(guò)的最大整數(shù),例如,,,對(duì)于函數(shù),若存在,,使得,則稱函數(shù)是“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù),是否是“函數(shù)”;
(2)設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù),其最小正周期是,若不是“函數(shù)”,求的最小值;
(3)若函數(shù)是“函數(shù)”,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為藥,藥)的療效,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)地選取 位患者服用藥,位患者服用藥,觀察這位患者的睡眠改善情況.這些患者服用一段時(shí)間后,根據(jù)患者的日平均增加睡眠時(shí)間(單位:),以整數(shù)部分當(dāng)莖,小數(shù)部分當(dāng)葉,繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥對(duì)增加睡眠時(shí)間更有效?并說(shuō)明理由;
(2)求這名患者日平均增加睡眠時(shí)間的中位數(shù),并將日平均增加睡眠時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的患者人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過(guò) | 不超過(guò) | |
服用藥 | ||
服用藥 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為兩種藥的療效有差異?
附: .
0.01 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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