Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2）上是遞增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．
（1）求f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）當(dāng)b＞-1時(shí)，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1）內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=

2x2-a

x

≥0在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2，g′(x)=

2 x -a

2 x

≤0在（1，2]上恒成立?a≥(2

x

)max=2，由此知f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-

x

．
（2）f（x）=g（x）+2?x2-2lnx-x+2

x

-2=0，設(shè)h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，由函數(shù)的單調(diào)性能導(dǎo)出方程f（x）=g（x）+2在x＞0時(shí)只有唯一解．
（3）f（x）≥2bx-

1

x2

在（0，1]上恒成立?2b≤x-

2lnx

x

+

1

x3

在（0，1]上恒成立．由此能導(dǎo)出b的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知：f′(x)=

2x2-a

x

≥0在（1，2]上恒成立?a≤（2x²）_min=2，
又g′(x)=

2 x -a

2 x

≤0在（0，1]上恒成立?a≥(2

x

)max=2，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

．
（2）．f（x）=g（x）+2?x2-2lnx-x+2

x

-2=0，設(shè)h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，
則h′(x)=2x-

2

x

+

1

x 3 2

，
解得h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增?h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0時(shí)只有唯一解．
（3）f（x）≥2bx-

1

x2

在（0，1]上恒成立，?2b≤x-

2lnx

x

+

1

x3

在（0，1]上恒成立．
設(shè)H(x)=x-

2lnx

x

+

1

x3

，則H′(x)=

x2(x2-2+2lnx) -3

x4

，
∵0＜x≤1?x²-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]單調(diào)遞減，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴-1＜b≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．