設(shè)函數(shù),其中.
(1)若,求在的最小值;
(2)如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在最小的正整數(shù),使得當(dāng)時,不等式恒成立.
(1); (2);(3) 存在最小的正整數(shù),使得當(dāng)時,不等式恒成立.
解析試題分析:(1) 由題意易知,()得(舍去)
所以當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,則;
(2)由在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在有兩個不等實根,即在有兩個不等實根,可求出的范圍.
(3) 由不等式,令即可構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)證明在即可.
試題解析:(1)由題意知,的定義域為,當(dāng)時,由,得(舍去),當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,
∴.
(2)由題意在有兩個不等實根,即在有兩個不等實根,設(shè),又對稱軸,則,解得.
(3)對于函數(shù),令函數(shù),則,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又時,恒有,即恒成立.取,則有恒成立.顯然,存在最小的正整數(shù),使得當(dāng)時,不等式恒成立.
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值;2.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍 3.構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立.
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已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(I)當(dāng)時,求函數(shù)的最值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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已知函數(shù),點為一定點,直線分別與函數(shù)的圖象和軸交于點,,記的面積為.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 若,使得, 求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù),,函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極小值;
(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點,(),證明:.
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已知實數(shù)滿足,,設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求的極小值;
(2)若函數(shù)()的極小值點與的極小值點相同,求證:的極大值小于等于
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已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若,的三個頂點在函數(shù)的圖象上,且,、、分別為的內(nèi)角A、B、C所對的邊。求證:
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已知函數(shù),且.
(1)判斷的奇偶性并說明理由;
(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若在區(qū)間上,不等式恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.
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已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
(2)記函數(shù),若的最小值是,求函數(shù)的解析式.
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