【題目】已知函數(shù),,為的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,當(dāng)時(shí),求證:有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)證明見解析;
【解析】
(1)結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對進(jìn)行分類討論,分為,,,幾種情形,即可求出函數(shù)的單調(diào)性;
(2)結(jié)合(1)中的結(jié)果可得的單調(diào)性,易得1為函數(shù)一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可求結(jié)果.
(1)
①當(dāng)時(shí),令,得,令,得,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
②當(dāng)時(shí),令,得,,
i)當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;
ii)當(dāng)時(shí),令,得或;令,得,
所以在和單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
iii)當(dāng)時(shí),令,得或;令,得,
所以在和單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
綜上:①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;在單調(diào)遞減;
②i)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
ii)當(dāng)時(shí),在和單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
iii)當(dāng)時(shí),在和單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
(2)
因?yàn)?/span>,所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),
由(1)知時(shí),在單調(diào)遞減,所以,
又因?yàn)?/span>,所以,
所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn),
所以當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中;
(l)判斷函數(shù)是否存在極值,若存在,請判斷是極大值還是極小值;若不存在,說明理由;
(2)討論在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,D為線段BC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿線段AD折起至,使二面角的大小為120°,則在點(diǎn)D的移動(dòng)過程中,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.不存在點(diǎn),使得
B.點(diǎn)在平面上的投影軌跡是一段圓弧
C.與平面所成角的余弦值的取值范圍是
D.線段的最小值是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),則函數(shù)y=f(f(x))﹣1的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為,且在極坐標(biāo)下點(diǎn)P.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C1與曲線C2交于A,B兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,證明:;
(2)若時(shí),都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,其中.
(1)若滿足.
①當(dāng),且時(shí),求的值;
②若存在互不相等的正整數(shù),滿足,且成等差數(shù)列,求的值.
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,若,,且恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖所示的三棱錐D﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,△ABC和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=,BC=CD=BD=2,則球O的表面積為( )
A.4π B.12π C.16π D.36π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒開一壺水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時(shí)燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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