Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ．用向量法解決下列問題：

（1）若AC的中點(diǎn)為E，求A1C與DE所成的角；
（2）求二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由AD=CD，AC的中點(diǎn)為E，∴DE⊥AC．

如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意可得A（0，0，0 ），B（1，0，0），A1（0，0，2）

C（0，2，0），D（﹣2，1，0），B1（1，0，2），

D1（﹣2，1，2），E（0，1，0）．

=（0，2，﹣2）， =（2，0，0），

∵ =0，∴A1C⊥DE，

∴A1C與DE所成的角為 ．

（2）解：設(shè)平面B1AC與平面D1AC所成的角為θ，

平面B1AC的法向量為 =（x，y，1），平面D1AC的法向量為 =（a，b，1）．

=（﹣1，0，﹣2）， =（2，﹣1，﹣2）， =（0，2，0）．

由 ，得 =（﹣2，0，1），

由 ，得 =（1，0，1），

則cosθ= = = ，

∴二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A1C與DE所成的角．（2）求出平面B1AC的法向量和平面D1AC的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣D1（銳角）的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．