設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試通過研究函數(shù)g（x）=
ln(1+x)
x
（x＞0）的單調(diào)性證明：當(dāng)n＞m＞0時，（1+n）m＜（1+m）n；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n＞2013，且x1，x2，x3，…，xn均為正實數(shù)，x1+x2+x3+…+xn=1 時，(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2014
)
1
2013
．
分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系知，可先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0，解此不等式，所得的解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出g′（x），得到函數(shù)g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，從而得到函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，進(jìn)而得證；
（Ⅲ）由柯西不等式，得到(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
≥(
1
1+n
)
1
n
 ，
再由（Ⅱ）可知，(1+n)2013 ＜(1+2013)n ，進(jìn)而得到(
1
1+n
)
1
n
＞(
1
2014
)
1
2013
，即得證．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）有f′（x）=-ln（x+1），…（1分）
當(dāng)-1＜x＜0，即f′（x）＞0時，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0，即f′（x）＜0時，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．      …（3分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）=
ln(1+x)
x
（x＞0），則g′(x)=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
，…（5分）
由（Ⅰ）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（0）=0，
∴g′（x）＜0在在（0，+∞）恒成立，從而得到函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又當(dāng)n＞m＞0時，∴g（n）＜g（m），得
ln(1+n)
n
＜
ln(1+m)
m
，
∴mln（n+1）＜nln（m+1），即：（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式：
(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
) （1+n）
≥(
x
2
1
1+x1
 
•
1+x1
+
x
2
2
1+x2
 
•
1+x2
+
x
2
3
1+x3
 
•
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
 
•
1+xn
)22
=（x1+x2+x3+…+xn）2=1，
所以(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
) ≥
1
1+n
，
(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
≥(
1
1+n
)
1
n
 ．…（11分）
又n＞2013，由（Ⅱ）可知(1+n)2013 ＜(1+2013)n ，
即(1+n)  
1
n
＜(1+2013) 
1
2013
，即(
1
1+n
)
1
n
＞(
1
2014
)
1
2013
．
則(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
≥(
1
1+n
)
1
n
＞(
1
2014
)
1
2013
．
故(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2014
)
1
2013
．…（14分）
點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其解題步驟為：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)小于0，解不等式，得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
以及利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于較難的題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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