Question

已知函數(shù)f(x)=loga(

x2+m

+x)，(a＞0，a≠1)為奇函數(shù)，
1）求實(shí)數(shù)m的值；
2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
3）若兩個(gè)函數(shù)F（x）與G（x）在[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在[p，q]上是分離的．試判斷函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）與g（x）=a^x在[1，2]上是否分離？若分離，求出a的取值范圍；若不分離，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)可知f（x）+f（-x）=0，解之即可求出m的值；
2）先將x用y表示出來(lái)，然后將x與y進(jìn)行互換，最后根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系即可求反函數(shù)；
3）記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)，假設(shè)f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即h（a^x）_min＞2，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（a^x）的最小值即可．

解答：解：1）f（x）為奇函數(shù)⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=

x2+1

+x
∴（a^y-x）²=x²+1
即x=

1

2

（ay-

1

ay

）
∴f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)，x∈R
3）f-1(x)=

1

2

(ax-

1

ax

)
記h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=

1

2

(ax+

1

ax

)
假設(shè)f^-1（x）與g（x）在[1，2]是分離的，，則h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即　h（a^x）_min＞2．
①當(dāng)a＞1時(shí)，x∈[1，2]，a^x∈[a，a²]，h（a^x）在a^x∈[a，a²]上單調(diào)遞增，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒a＞2+

3

；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[1，2]，a^x∈[a²，a]，h（a^x）在a^x∈[a²，a]上單調(diào)遞減，h(ax)min=h(a)=

1

2

(a+

1

a

)＞2⇒0＜a＜2-

3

；
故a的取值范圍是：(0，2-

3

)∪(2+

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及反函數(shù)的求解和新定義的理解，屬于中檔題．