Question

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知公差不為零的等差數(shù)列{x_n}和等比數(shù)列{y_n}中，x₁=y₁=1，x₂=y₂，x₆=y₃．是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)于一切正整數(shù)n，都有x_n=log_ay_n+b成立？如果存在，求出a和b的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：設(shè){x_n}的公差為d且{y_n}的公比為q，根據(jù)題中等式建立關(guān)于d、q的方程組，解出d=3且q=4，從而得出x_n=3n-2，y_n=4^n-1．若存在實(shí)數(shù)a和b使得x_n=log_ay_n+b成立，可得3n-2=log_a4^n-1+b，化簡即（3-log_a4）•n+（log_a4-b-2）=0恒成立，采用比較系數(shù)法建立關(guān)于a、b的方程組，即得存在常數(shù)a=

3	4

，b=1，滿足題設(shè)條件．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{x_n}的公差為d，等比數(shù)列{y_n}的公比為q，則
x₁=1，x₂=1+d，x₆=1+5d；y₁=1，y₂=q，y₂=q²，----------4分
∵x₂=y₂，x₆=y₃，
∴1+d=q，1+5d=q²，解得d=3且q=4或d=0且q=1（不符合題意舍去）
∴x_n=1+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2，y_n=y₁•q^n-1=1•4^n-1=4^n-1．----------9分
若存在實(shí)數(shù)a和b，使得x_n=log_ay_n+b成立（n∈N^*），
則3n-2=log_a4^n-1+b，（n∈N^*）
即有（3-log_a4）•n+（log_a4-b-2）=0恒成立，----------12分
∴

3-loga4=0 log a4-b-2=0

，解之得a=

3	4

，b=1
∴存在常數(shù)a=

3	4

，b=1，滿足題設(shè)條件．-----------14分．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差數(shù)列與等比數(shù)列，在它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等的情況下求通項(xiàng)公式并討論一個(gè)等式恒成立的問題．著重考查了等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、恒等式的成立和二元方程組的解法等知識(shí)，屬于中檔題．