【題目】已知f(x)=2x2﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣ )(k≠0).
(1)設(shè)f(x)的定義域?yàn)閇0,3],值域?yàn)锳; g(x)的定義域?yàn)閇0,3],值域?yàn)锽,且AB,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2)若方程f(sinx)+sinx﹣a=0在[0,2π)上恰有兩個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)x∈[0,3]時(shí),由于f(x)=2x2﹣3x+1圖象的對(duì)稱軸為 ,且開口向上,

可知 ,f(x)max=f(3)=10,

所以f(x)的值域 ;

當(dāng)x∈[0,3]時(shí), , ;所以當(dāng)k>0時(shí),g(x)的值域 ;

所以當(dāng)k<0時(shí),g(x)的值域

又∵AB,所以

即 k≥10或k≤﹣20;


(2)解:∵f(sinx)+sinx﹣a=0,所以2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在x∈[0,2π)上恰有兩個(gè)解,

設(shè)t=sinx,則t∈[﹣1,1],令h(t)=2t2﹣2t+1﹣a,

①當(dāng)t∈(﹣1,1)時(shí),由題意h(t)=0恰有一個(gè)解或者有兩個(gè)相等的解,

即h(﹣1)h(﹣1)<0或△=4﹣8(1﹣a)=0,即1<a<5或 ;

②若t=﹣1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個(gè)根,此時(shí)a=5,且方程的另一個(gè)根為t=2,于是sinx=﹣1或sinx=2,

因此 ,不符合題意,故a=5(舍);

③若t=1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個(gè)根,此時(shí)a=1,且方程的另一個(gè)根為t=0,于是sinx=1或sinx=0,

因此x=0或 或π,不符合題意,故a=1(舍);

綜上,a的取值范圍是1<a<5或


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),分別求出f(x)、g(x)在區(qū)間[0,3]上的最值即得值域A、B;再根據(jù)AB求出k的取值范圍;(2)根據(jù)f(sinx)+sinx﹣a=0在x∈[0,2π)上恰有兩個(gè)解,利用換元法設(shè)t=sinx,t∈[﹣1,1],構(gòu)造函數(shù)h(t)=2t2﹣2t+1﹣a,討論t的取值范圍,從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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