Question

設(shè)函數(shù)f（x）= x³+bx²+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數(shù)m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負(fù)并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

Answer 1

解：①求出f′（x）=x²+2bx+c；
∴f′（1）=1+2b+c=0?b=且f′（m）=m²+（-1-c）m+c=-1；
∴m²-（1+c）m+c+1=0，
∴△=（1+c）²-4（1+c）≥0，則c≥3或c≤-1；
又∵b=＜1
∴c＞-3；又b=＞c，則有c＜，∴-3＜c≤-1．…（4分）
②f′（x）=x²+（-1-c）x+c=（x-c） （x-1），
其圖象開口向上，對稱軸為：-1＜x₀=＜0；
∵f′（m）=-1＜0，
∴-3＜c＜m＜1；
則-7＜m-4＜-3?f′（m-4）＞0；…（9分）
③由于f′（m-4）＞0；
∵函數(shù)f（x）在x=1處取到一個極小值，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（c，1）上為減函數(shù)，
∴m-4≤c，
f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于f（c）= c³+•c²+c²=，
∴c=-1，或c=4（舍去）；
由f′（m）=-1，可得m=0，則f（x）= x³-x，（x∈[-4，1]）
∴函數(shù)的最小值為f（-4）=．…（13分）
分析：①存在實數(shù)m，使f′（m）=-1，得到關(guān)于m的一元二次方程有實數(shù)根，用根的判別式列出關(guān)于b、c的不等式，結(jié)合函數(shù)在x=1處取到極小值，說明f′（1）=0，消去b得到關(guān)于c的一元二次不等式，最后結(jié)合c＜b＜1解出c取值范圍．
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象開口向上，在區(qū)間（c，1）上取值為負(fù)，而f′（m）=-1為負(fù)，得到-3＜c＜m＜1，從而得到-7＜m-4＜-3，因此f′（m-4）的符號為正．
③由②f′（m-4）＞0且在x=1時函數(shù)f（x）取到極小值，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性：在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（c，1）上為減函數(shù)．因此m-4≤c，f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值為f（c），從而解出c=-1且m=0，得出函數(shù)的表達式為f（x）= x³-x，最后可得f（x）在x∈[-4，1]上的最小值．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)在某點取得極值的條件和得用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等知識點，屬于中檔題．