Question

以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間[0，1]對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻的拉成一個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標(biāo)

1

4

，

3

4

變成

1

2

，原來的坐標(biāo)

1

2

變成1，等等）．則區(qū)間[0，1]上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是

1

4

，

3

4

，那么在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與1重合的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是（　　）

• A、

  k

  2n

  (k為[1，2ⁿ]中所有奇數(shù)）
• B、

  2k+1

  2n

  (k∈N*，且k≤n)
• C、

  k

  2n-1

  (k為[1，2^n-1]中所有奇數(shù)）
• D、

  2k-1

  2n

  (k∈N*，且k≤n)

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可知下一次的操作把上一次的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好擴(kuò)大了2倍．因?yàn)榈谝淮尾僮骱�，原線段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是

1

4

和

3

4

，則它們的和可求．根據(jù)題意，將恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)列出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，列出通式即可．

解答：解：∵第一次操作后，原線段AB上的

1

4

，

3

4

，均變成

1

2

，
∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)擴(kuò)大了2倍，
則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是

1

4

和

3

4

，
根據(jù)題意，得

由上圖表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的通式為為

1

2n

，

2n-1

2n

．
所以恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為

1

2

，

1

22

，

3

22

，…

1

2n

，

2n-1

2n

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題的難點(diǎn)是理解題意，能夠發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的變化規(guī)律：下一次的操作把上一次的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好擴(kuò)大了2倍．解答本題的難點(diǎn)是根據(jù)數(shù)據(jù)列出通式，方便比較數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，通過列表格的形式，可以直觀一些．