Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=3，an＞0，且滿(mǎn)足an+12﹣an=an+1+an2（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè) （λ為正偶數(shù)，n∈N*），是否存在確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N* ， 有Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得， ，且an＞0，

∴an+1﹣an=1（n∈N*），且a2﹣a1=1．

∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

∴an=n+1

（2）解：由（1）知 ，

設(shè)它的前n項(xiàng)和為T(mén)n

∴Tn=221+322+…+（n+1）2n，

2Tn=222+323+…+（n+1）2n+1，

兩式相減可得：

所以

（3）解：∵an=n+1，∴ ，

要使Cn+1＞Cn恒成立，

則 恒成立，

∴34n﹣λ2n+1＞0恒成立，

∴λ＜32n﹣1恒成立．

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，32n﹣1有最小值為3，∴λ＜3．又λ為正偶數(shù)，則λ=2．

即存在λ=2，使得對(duì)任意n∈N*，都有Cn+1＞Cn

【解析】（1）將條件化簡(jiǎn)可得an+1﹣an=1，再由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；（2）求得 ，再議數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和；（3）求得an=n+1， ，要使Cn+1＞Cn恒成立，運(yùn)用作差法，再由參數(shù)分離，求得右邊的最小值即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．