如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解題分析；(Ⅱ)詳見解題分析；(Ⅲ)直線與平面所成角的正弦值為．

試題分析：(Ⅰ)如圖，在三棱柱中，要證明//平面，只要在平面內(nèi)找的平行線，也即只要證明//即可．需要先證明四邊形為平行四邊形，這可有且//得到；(Ⅱ)要證明平面平面，只要能在其中一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線即可．可以嘗試證明平面由于是正三角形，為的中點(diǎn)，故，為此只要證明，它可以利益底面得到；(Ⅲ)首先需找到或作出線與平面所成角．按照定義，結(jié)合已知，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接．再利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明平面．由此得為直線與平面所成角．最后在中，利用銳角三角函數(shù)求直線與平面所成角的正弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：如圖，在三棱柱中，//，且連接在中，分別為的中點(diǎn)，且//，又為的中點(diǎn)，可得且//即四邊形為平行四邊形，//．又平面平面//平面；
(Ⅱ)證明：由于是正三角形，為的中點(diǎn)，故又由于側(cè)棱底面底面， 因此平面平面，平面平面；
(Ⅲ)解：在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接．由于平面平面，而直線是平面與平面的交線，故平面．由此得為直線與平面所成角．設(shè)棱長為,可得由∽,易得．在中，．所以直線與平面所成角的正弦值為．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn).

（1）若，求證：平面平面；
（2）點(diǎn)在線段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側(cè)面底面，且,設(shè)、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；
(2)求證：面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于

(1)求證：⊥EF;
(2)求

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當(dāng)PC與平面ABCD所成角的正切值為時(shí)，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當(dāng)DF為何值時(shí)，EF與BC1所成的角為90°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，底面為直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點(diǎn)、分別為側(cè)棱、的中點(diǎn) 

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面.

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