Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

P

P-1

(an-1)（P為常數(shù)，且P≠0，P≠1，n∈N₊），數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且bn=

Sn

an

+3．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求P的值．

Answer 1

分析：（1）、分別討論當(dāng)n=1和n≥2時a_n與P的關(guān)系，便可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是以P為首相，以P為公比的等比數(shù)列，便可求出{a_n}的通項公式；
（2）、根據(jù)（1）中求得的{a_n}的通項公式便可求出前n項和S_n的表達式，分別令n=1，n=2和n=3便可求出P的值．

解答：解：（1）n=1時，（P-1）a₁=P（a_n-1），∴a₁=P，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，得

an

an-1

=P，
∴a_n=a₁•q^n-1=qⁿ，
∴{a_n}的通項公式為a_n=Pⁿ…（4分）
（2）n=1時，b1=

S1

a1

+3=

P

P

+3=4
n=2時，b2=

P+P2

P2

+3=

1

P

+4
n=3時，b3=

1

P2

+

1

P

+4…（8分）
∴(

1

P

+4)2=4(

1

P2

+

1

P

+4)∴P=

3

4

…（12分）

點評：本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法和等比數(shù)列性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算能力和對函數(shù)的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．