Question

（08年周至二中四模理）( 14分)

直線l:ax－y－1=0與曲線C：x²－2y²=1交于P、Q兩點(diǎn)，

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，|PQ|=2.

(2)是否存在a的值，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：(1)設(shè)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),,      ∴(1－2a²)x²+4ax－3=0.

若1－2a²=0,即a=±時(shí)，l與C的漸近線平行，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,    ∴－＜a＜.

  (*)        ∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2.

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4.     ∴(－)²－4=4.

∴a=±1∈(－,).

∴所求的實(shí)數(shù)a的值為a=±1.                                                                          6分

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，則由OP⊥OQ，得y₁?y₂=－x₁?x₂.

∴(ax₁－1)?(ax₂－1)=－x₁?x₂,

∴(1+a²)x₁?x₂－a(x₁+x₂)+1=0.                                                                          10分

把(*)式代入得：a²=－2與a為實(shí)數(shù)矛盾，

∴不存在實(shí)數(shù)a使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).                                              10分