【題目】設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成:①②存在實(shí)數(shù)使對(duì)任意正整數(shù)都成立.
(1)現(xiàn)在給出只有5項(xiàng)的有限數(shù)列其中;試判斷數(shù)列是否為集合的元素;
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為且對(duì)任意正整數(shù)點(diǎn)在直線上,證明:數(shù)列并寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列且對(duì)滿足條件②中的實(shí)數(shù)的最小值都有求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列.
【答案】(1)數(shù)列不是集合中的元素;數(shù)列是集合中的元素(2)證明見(jiàn)解析,實(shí)數(shù)的取值范圍是實(shí)數(shù)的取值范圍是(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由于,可知數(shù)列不滿足條件①,對(duì)數(shù)列中的每項(xiàng)逐一驗(yàn)證性質(zhì)①,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得性質(zhì)②,進(jìn)而可得結(jié)果;(2)由于點(diǎn)在直線上,可得,利用遞推關(guān)系可得:,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得,驗(yàn)證,可知條件①成立,由于,即可得出條件②及其,的范圍;(3)利用反證法:若數(shù)列非單調(diào)遞增,則一定存在正整數(shù),使成立,再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(1)對(duì)于數(shù)列,∵,不滿足集合的條件①,
∴數(shù)列不是集合中的元素.
對(duì)于數(shù)列,∵,,
,而且,當(dāng)時(shí)有顯然滿足集合的條件①②,故數(shù)列是集合中的元素.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,
所以①當(dāng)時(shí),有②
①②,得所以,當(dāng)時(shí),有
又,所以
因此對(duì)任意正整數(shù)都有,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,
故
對(duì)任意正整數(shù),都有,且,
故,實(shí)數(shù)的取值范圍是,實(shí)數(shù)的取值范圍是
(3)假設(shè)數(shù)列不是單遞增數(shù)列,則一定存在正整數(shù),使,
此時(shí),我們用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于任意的正整數(shù),當(dāng)時(shí)都有成立.
①時(shí),顯然有成立;
②假設(shè)時(shí),
則當(dāng)時(shí),由可得從而有
所以
由①②知,對(duì)任意的都有1
顯然這個(gè)值中一定有一個(gè)最大的,不妨記為于是
從而與已知條件相矛盾.
所以假設(shè)不成立,故命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且
(1)若,求橢圓的方程;
(2)直線AB的斜率;
(3)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線上有一點(diǎn)在的外接圓上,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù);
(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明:以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸的交點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,對(duì)任意都有,(其中k、b、p都是常數(shù)).
(1)當(dāng)、、時(shí),求;
(2)當(dāng)、、時(shí),若、,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。當(dāng)、、時(shí),.試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”.使得對(duì)任意.都有,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值的集合;若不存在,說(shuō)明理由.
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【題目】正方體的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上,過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面,記平面截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長(zhǎng)為,設(shè).
(1)下列說(shuō)法中,正確的編號(hào)為__________.
①截面多邊形可能為四邊形;②;③函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱.
(2)當(dāng)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡,是由黃岡市旅游局策劃,黃岡市大別山旅游公司推出的一項(xiàng)惠民工程,持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費(fèi)支出情況單位:百元,相關(guān)部門(mén)對(duì)已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表:
組別 | |||||
頻數(shù) | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得樣本的中位數(shù)精確到百元;
根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為市民的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布,若該市總?cè)丝跒?/span>750萬(wàn)人,試估計(jì)有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在7500元以上;
若年旅游消費(fèi)支出在百元以上的游客一年內(nèi)會(huì)繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩現(xiàn)從游客中隨機(jī)抽取3人,一年內(nèi)繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩記2分,不來(lái)該景點(diǎn)游玩記1分,將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,且游客之間的選擇意愿相互獨(dú)立,記總得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):,;
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相切,與橢圓相交于兩點(diǎn),求證:是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn)),面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),問(wèn)軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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