精英家教網(wǎng)ABCD為平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
3
．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（3）設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ，試求tanθ的值．
分析：（1）由已知中，PA⊥面ABCD，結(jié)合面面垂直的判定定理，我們易得平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，則OE∥PC，則直線PC與BD所成角等于直線OE與BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（3）A作AE⊥PC交PC于E，過E作EF⊥PC交PB于F，連接AE．則二面角A-PC-B的平面角為∠AEF，解三角形AEF，即可得到答案．
解答：證明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
解：（2）令AC與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE如圖所示：
精英家教網(wǎng)
∵O為BD的中點，則EO=
1
2
PC=
1
2
PA2+AC2
=
7
2
，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=
3
．
∴OB=
1
2
BD=
5
2
，BE=
2

∴|cos∠EOB|=|
OE2+OB2-BE2
2OE•OB
|=
3
7
；
即異面直線PC與BD所成角的余弦值為
3
7
；
（3）過A作AE⊥PC交PC于E，過E作EF⊥PC交PB于F，連接AE．則二面角A-PC-B的平面角為∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=
7
，∴AE=
AP•AC
PC
=
2
3
7
，PE=
PA2-AE2
=
4
7
，
在△PBC中，PB=
5
，BC=2，∴cos∠BPC=
PC2+PB2-BC2
2PC•PB
=
4
35
，
在Rt△PEF中，tan∠EPF=
19
4
，∴EF=PE•tan∠EPF=
19
7

在△PAF中，PF=
PE2+EF2
=
5
，cos∠FPA=
PA
PB
=
2
5
，∴AF=1，
在△AEF中，cosθ=
2
3
19
，∴tanθ=
21
6
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，將空間問題轉(zhuǎn)化為一個平面解三角形的問題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥面ABCD，PC•BD=0，PA=AB=2．∠BAD=60°．
（1）證明：面PAC⊥面PBD．
（2）求C到面PBD的距離．
（3）求面PBC與面PAD的二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD．
（1）若底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PA=PD，求證：PB⊥AD；
（2）若底面ABCD為平行四邊形，E為PC的中點，在DE上取點F，過AP和點F的平面與平面BDE的交線為FG，求證：AP∥FG．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（1，
3
2
），離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線x+y+1=0與橢圓E相交于A、B（B在A上方）兩點，問是否存在直線l，使l與橢圓相交于C、D（C在D上方）兩點且ABCD為平行四邊形，若存在，求直線l的方程與平行四邊形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案