Question

設f（x）=

x

a(x+2)

，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求實數a；
（2）求數列{x_n}的通項公式；
（3）若a_n=

4

xn

-4009，（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）f（x）=x變形為x=0或

1

a(x+2)

=1，解得可得a值
（2）由（1）可求出f（x）的解析式，結合f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）可得數列{

1

xn

}為等差數列，并能求出數列{x_n}的通項公式．
（3）由

4

xn

-4009，結合（2）中結論，可求出數列{a_n}的通項公式

解答：解：（1）f（x）=x變形為 x=0或

1

a(x+2)

=1
∵f（x）=x有唯一解，
∴x=0應為

1

a(x+2)

=1的根
解得：a=

1

2

，
（2）由（1）得
∴f（x）=

2x

x+2

f（x_n）=x_n+1，即x_n+1=

2xn

xn+2

，
∴

1

xn+1

=

1

xn

+

1

2

，
∴{

1

xn

]為公差為

1

2

的等差數列
又∵f（x₁）=

1

1003

=

2x1

x1+2

∴

1

x1

=

2005

2

∴

1

xn

=

n+2008

2

，
∴x_n=

2

n+2008

（3）a_n=

4

xn

-4009=4×

1

xn

-4009=2（n+2008）-4009=2n-1

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．