Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-a|x-2|+a．
（1）求證：y=f（x）的圖象恒過定點P，Q；
（2）若y=f（x）的最小值為0，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的意義可得到當x≥2時，f（x）=x²-ax+3a當x＜2時，f（x）=x²+ax-a要使y=f（x）的圖象恒過定點P，Q則a的值對函數(shù)無影響則需將含a的式子合并然后系數(shù)為0再求出相應的y值即得到定點．
（2）由（1）可得f（x）在x=

a

2

或x=-

a

2

時有函數(shù)的最小值故將x=

a

2

，x=-

a

2

代入求出a但要結合x的范圍取舍a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-a|x-2|+a
∴當x≥2時，f（x）=x²-ax+3a=x²+a（3-x）①，可知，當x=3時，a的值對函數(shù)無影響，所以函數(shù)過定點（3，9）
當x＜2時，f（x）=x²+ax-a=x²+a（x-1）②，所以，又過定點（1，1）
（2）由（1）可知，當x=

a

2

或x=-

a

2

時有函數(shù)的最小值，當為①時，x=

a

2

，y=0，解得：a=0或a=

4

3

而當a=0時x=0＜2，當a=

4

3

時x∈∅
當為②時，x=-

a

2

，y=0，解得：a=0或a=-4
綜上：a=0或-4

點評：本題主要考查了分段函數(shù)的最值及恒成立問題．第一問解題的關鍵要分析出要恒過定點即與a無關即將含a的式子合并然后系數(shù)為0，第二問要分析出當x=

a

2

或x=-

a

2

時有函數(shù)的最小值再代入求值時但要注意a的值要在限制條件x≥2，x＜2下進行取舍！