Question

任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，則f（x）稱為[a，b]上的凸函數(shù)．下列函數(shù)中①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

在其定義域上為凸函數(shù)是（　�。�

A．①②

B．②③

C．②③④

D．②④

Answer 1

分析：由凸函數(shù)的概念，得出凸函數(shù)的幾何特征，根據(jù)幾何特征可作出四個(gè)函數(shù)①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

的圖象，觀察圖象即可得到答案．

解答：解：根據(jù)題意：任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，f（x）稱為[a，b]上的凸函數(shù)知：
在函數(shù)y=f（x）的圖象上任取不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB（端點(diǎn)除外）總在f（x）圖象的上方，則函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，
分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示．
∴觀察②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

在其定義域上的圖象，滿足凸函數(shù)的概念，
∴即②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

1

2

是凸函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，關(guān)鍵在于作出符合凸函數(shù)的概念的函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．