Question

（2013•浙江模擬）已知橢圓

y2

5

+

x2

4

=1的上、下焦點(diǎn)分別為N、M，若動(dòng)點(diǎn)P滿足

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線l₁：y=-1，設(shè)傾斜角為α的直線l₂過點(diǎn)N，交軌跡C于兩點(diǎn)A、B，交直線l₁于點(diǎn)R．若α∈（0，

π

6

]，求|AR|•|BR|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），寫出向量

MP

，

MN

，

PN

的坐標(biāo)，代入

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，整理即得所求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=kx+1，與拋物線C方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），易求R點(diǎn)坐標(biāo)，由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理把|AR|•|BR|表示出來，可得關(guān)于k的函數(shù)，由α∈（0，

π

6

]得k的范圍，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得|AR|•|BR|的最小值；

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則

MP

=(x，y+1)，

MN

=(0，2)，

PN

=(-x，1-y)，
由

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，得2(y+1)=

x2+(1-y)2

×2，
整理得x²=4y，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y；
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=kx+1，代入拋物線方程x²=4y消去y，得x²-4kx-4=0．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因?yàn)橹本�l₂的斜率k≠O，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-

2

k

，-1)．
|AR|•|BR|=

1+k2

|x₁-x_R|•

1+k2

|x₂-x_R|
=（1+k²）•（x₁+

2

k

）（x₂+

2

k

）=（1+k²） x₁ x₂+（

2

k

+2 k）（ x₁+x₂）+

4

k2

+4
=-4（1+k²）+4k（

2

k

+2k）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8，
又α∈（0，

π

6

]，∴k∈（0，

3

3

]，k2∈(0，

1

3

]，
令t=k²，∵f（t）=4（t+

1

t

）+8在（0，

1

3

]上遞減，
所以|AR|•|BR|的最小值為4(

1

3

+3)+8=

64

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線、直線方程及兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，解決（2）問的關(guān)鍵是用參數(shù)k表示出|AR|•|BR|．