(本小題滿分12分)如圖所示,已知中,AB=2OB=4,D為AB的中點,若繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的,記二面角B—AO—C的大小為(I)若,求證:平面平面AOB;(II)若時,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

 

 

 

 

 

 

【答案】

解法一:(I)如圖所示,以O為原點,在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸,

       OB,OA所在的直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,

  

 

則A(0,0,2),B(0,2,0),D(0,1,),C(2sinθ,2cosθ,0).

       設=(x,y,z)為平面COD的一個法向量,

,得,……3分

       取z=sinθ,則=(cosθ,-sinθ,sinθ)=(0,-,1)

       因為平面AOB的一個法向量為=(1,0,0),得·=0,

       因此平面COD⊥平面AOB.            ……6分

       (II)設二面角C-OD-B的大小為α,由(1)得

       當θ=時,cosα=0;當θ∈(,]時,tanθ≤-,

       cosα==-,……10分

 

 

故-≤cosα<0.因此cosα的最小值為-,

綜上,二面角C-OD-B的余弦值的最小值為-.            ……12分

       解法二:(I)因為AO⊥OB,二面角B-AO-C為,           ……3分

       所以OB⊥OC,又OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB                                                      

       所以平面AOB⊥平面CO                         D.                          ……6分

       (II)當θ=時,二面角C-OD-B的余弦值為0;……7分

當θ∈(,]時,過B作OD的垂線,垂足為E,

過C作OB的垂線,垂足為F,過F作OD的垂線,垂足為G,連結CG,

則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角.

在Rt△OCF中,CF=2sinθ,OF=-2cosθ,

在Rt△CGF中,GF=OFsin=-cosθ,CG=,

所以cos∠CGF==-.因為θ∈(],tanθ≤-,故0<cos∠CGF=.所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值為-.                          ……12分

 

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
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(文) (本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)
,
(1)求函數(shù)的值域和最小正周期;
(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.

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設平面直角坐標中,O為原點,N為動點,|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過點M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點N1,
OT
=
M1M
+
N1N
,記點T的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(其中點P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
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,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程.

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為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求:

(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.

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(注:利潤與投資單位是萬元)

(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.

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