Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意n∈N*，2是a_n+2 和a_n的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2S_n﹣4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，4 ，且a_n＞0． 
當(dāng)n=1時(shí)，4 +2a₁，解得a₁=2．  
當(dāng)n≥2時(shí)，有4S_n﹣1= ．
于是4S_n﹣4S_n﹣1= ，
即4 ．
于是 ，即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1）=2（a_n+a_n﹣1）．
因?yàn)閍_n+a_n﹣1＞0，所以a_n﹣a_n﹣1=2，n≥2．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n．
（Ⅱ）證明：因?yàn)閍_n=2n，則 ，
所以 =（1﹣ ）+（ ）+…+（ ） =1﹣ ．
（Ⅲ）由 ，得2n（n+1）﹣4200＞2n²，所以n＞2100．  
由題設(shè)，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因?yàn)閙∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件．
且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2100，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有k項(xiàng)，則2100+2（k﹣1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有450個(gè)．