Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD．設(shè)以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，則e₁•e₂=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AD=t，不妨設(shè)AB=2t，令∠DAB=θ，由余弦定理可求得 BD，由題意并結(jié)合橢圓、雙曲線的定義，
求出a和 c的值，求出e₁ 和e₂ 的值，即可得到 e₁•e₂ 的值．

解答：解：設(shè)AD=t，不妨設(shè)AB=2t，令∠DAB=θ，則由余弦定理可求得
BD=

t2+ 4t2-2t•2tcosθ

=t

5-4cosθ

．在雙曲線中，2a=DB-DA=t

5-4cosθ

-t，
c=t，

c

a

=

t

t  5-4cosθ -t 2

=

2

5-4cosθ -1

，∴e₁=

2

5-4cosθ -1

．
在橢圓中，2a=BD+BC=t

5-4cosθ

+t，2c=DC，三角形BCD中，由余弦定理可得
BD²=BC²+DC²-2BD•DC cos（π-θ），即   t²（5-4cosθ）=t²+4c²+2t•2c•cosθ，
c=t（1-cosθ），e₂=

c

a

=

t(1-cosθ)

t 5-4cosθ +t 2

=

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

．
∴e₁•e₂=

2

5-4cosθ -1

•

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出a 和c的值，
是解題的關(guān)鍵．