已知點P是圓O:x2+y2=3上動點,以點P為切點的切線與x軸相交于點Q,直線OP與直線x=1相交于點N,若動點M滿足:,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點A,B,設(shè),問在x軸上是否存在定點E,使得?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),相應(yīng)的點P的坐標(biāo)為(x,y),進(jìn)而可得直線PQ和OP的方程,求得Q和N的坐標(biāo),進(jìn)而可x和y分別表示出x和y,代入圓方程即可得到曲線C的方程.
(2)設(shè)存在定點E(t,0)使得,設(shè)直線AB的方程為:x=my+2(m≠0),點A(x1,y1),B(x2,y2)用A,B的坐標(biāo)分別表示出,代入,可求得λ的表達(dá)式,聯(lián)立方程消去x,利用韋達(dá)定理求得y1+y2和y1y2,代入(1)式進(jìn)而求得t,確定E的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),相應(yīng)的點P的坐標(biāo)為(x,y),則x2+y2=3,
直線PQ的方程為:xx+yy=3,所以點Q的坐標(biāo)為,
直線OP的方程為:,所以點N的坐標(biāo)為,
因此:
即:,
所以曲線C的方程為:

;
(2)設(shè)存在定點E(t,0)使得,
設(shè)直線AB的方程為:x=my+2(m≠0),點A(x1,y1),B(x2,y2
得到-y1=λy2,

,得到:,
即:(my1+2-t)y2+y1(my2+2-t)=0,
即2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0(1)
由方程組:
得到:(my+2)2-3y2=3,
即(m2-3)y2+4my+1=0,
所以:m2-3≠0,且,
代入(1)式得到:
要對滿足(m≠0)且m2-3≠0的實數(shù)m恒成立,
只需要2+(t-2)×4=0,即,
所以存在定點使得
點評:本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線與直線的綜合問題.當(dāng)求直線與雙曲線的關(guān)系時常需要聯(lián)立方程消元后根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問題的突破口.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P是圓O:x2+y2=3上動點,以點P為切點的切線與x軸相交于點Q,直線OP與直線x=1相交于點N,若動點M滿足:
NM
OQ
QM
OQ
=0
,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點A,B,設(shè)
AF
FB
,問在x軸上是否存在定點E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)
?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點P是圓O:x2+y2=3上動點,以點P為切點的切線與x軸相交于點Q,直線OP與直線x=1相交于點N,若動點M滿足:
NM
OQ
,
QM
OQ
=0
,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點A,B,設(shè)
AF
FB
,問在x軸上是否存在定點E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)
?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點P是圓O:x2+y2=3上動點,以點P為切點的切線與x軸相交于點Q,直線OP與直線x=1相交于點N,若動點M滿足:,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點A,B,設(shè),問在x軸上是否存在定點E,使得?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點P是圓O:x2+y2=3上動點,以點P為切點的切線與x軸相交于點Q,直線OP與直線x=1相交于點N,若動點M滿足:,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點F(2,0)的動直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點A,B,設(shè),問在x軸上是否存在定點E,使得?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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