【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中, ,平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(1)由條件中,平面平面,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理,可以證明線面垂直,從而證明線線垂直(2)建立空間坐標(biāo)系,求出法向量,然后根據(jù)題意計(jì)算是否存在點(diǎn)滿足要求
解析:(Ⅰ)證明:在直三棱柱中,平面ABC,故,
由平面平面,且平面平面,
所以平面,
又平面,所以
(Ⅱ)證明:在直三棱柱中,平面ABC,
所以,,
又,所以,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
根據(jù)已知條件可得,,,,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,
由即
令,則,,于是,
平面的法向量為
設(shè),,
則,
若直線DP與平面成角為,則,
計(jì)算得出,
故不存在這樣的點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在處取得極值,直線與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.若的極大值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年,圓形方孔銅錢(簡稱“孔方兄”)是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣.如圖1,這是一枚清朝同治年間的銅錢,其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的,內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合,正方形外部,圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”.某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品,其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示,小圓直徑1厘米,內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔,四周是四個(gè)全等的小正方形(邊長比孔的邊長。總(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上,另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上,四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè),五個(gè)正方形的面積和為S.
(1)求面積S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求定義域;
(2)求面積S的最小值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率為。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,左,右頂點(diǎn)分別為,,點(diǎn),,為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且,記直線,的斜率分別為,,若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市《城市總體規(guī)劃(年)》提出到2035年實(shí)現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo),從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個(gè)方面構(gòu)建“15分鐘社區(qū)生活圈“指標(biāo)體系,并依據(jù)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為:優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為、良好小區(qū)(指數(shù)為0.4-0.63、中等小區(qū)(指數(shù)為0.2~0.4)以及待改進(jìn)小區(qū)(指數(shù)為0-0.2)4個(gè)等級.下面是三個(gè)小區(qū)4個(gè)方面指標(biāo)值的調(diào)查數(shù)據(jù):
注:每個(gè)小區(qū)”15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)其中、、、為該小區(qū)四個(gè)方面的權(quán)重,為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值(小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為之間的一個(gè)數(shù)值)
現(xiàn)有100個(gè)小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈“指數(shù)數(shù)據(jù),整理得到如下頻數(shù)分布表:
(1)分別判斷A、B、C三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū),并說明理由;
(2)對這100個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣,抽取10個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)查,若在抽取的10個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取2個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查,記這2個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)為ζ,求ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽,每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽,若每個(gè)同學(xué)可以自由選擇,則不同的選擇種數(shù)是____;若甲和乙不參加同一科,甲和丙必須參加同一科,且這三科都有人參加,則不同的選擇種數(shù)是_____.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、外語,為必考科目;“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對這兩個(gè)科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)杳(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須洗擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計(jì) |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
總計(jì) |
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省高考改革方案指出:該省高考考生總成績將由語文數(shù)學(xué)英語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門等級性考試科目中自主選擇3個(gè),按獲得該次考試有效成績的考生(缺考考生或未得分的考生除外)總?cè)藬?shù)的相應(yīng)比例的基礎(chǔ)上劃分等級,位次由高到低分為A、B、C、D、E五等21級,該省的某市為了解本市萬名學(xué)生的某次選考化學(xué)成績水平,統(tǒng)計(jì)在全市范圍內(nèi)選考化學(xué)的原始成績,發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布 ,現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了名學(xué)生,將所得成績整理后,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估算該校名學(xué)生成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)現(xiàn)從該校名考生成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人,該兩人成績排名(從高到低)在全市前名的人數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅱ)恒成立,求a的取值范圍.
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