Question

某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

（1）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）記“函數(shù)f(x)=x²-3ξx+1在區(qū)間［2，+∞)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.

Answer 1

解析：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A₁，A₂，A₃.由乙知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5,P(A₃)=0.6.

客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1,3.

P(ξ=3)=P(A₁·A₂·A₃)+P(··)

=P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()P()P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24,

P(ξ=1)=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列為:

ξ	1	3
P	0.76	0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48；

（2）解法一：因?yàn)閒(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

所以函數(shù)f(x)=x²-3ξx+1在區(qū)間［ξ，+∞)上單調(diào)遞增，

要使f(x)在［2，+∞］上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)ξ≤2,即ξ≤.

從而P（A）=P（ξ≤）=P(ξ=1)=0.76.

解法二：ξ的可能取值為1，3.

當(dāng)ξ=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-3x+1在區(qū)間［2，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)ξ=3時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-9x+1在區(qū)間［2，+∞)上不單調(diào)遞增，

所以P（A）=P（ξ=1）=0.76.