Question

在平面直角坐標系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0),P(x,y),M(,0)，若實數(shù)λ使向量、λ、滿足λ²·()²=·.

(1)求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當λ=時，過點A₁且斜率為1的直線與(1)中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A₁BC為正三角形.

Answer 1

解:（1）由已知可得=(x+3,y), =(x-3,y), =(,0),

∵λ²()²=·,

∴λ²(x²-9)=x²-9+y²,

即P點的軌跡方程是(1-λ²)x²+y²=9(1-λ²).

①當1-λ²＞0且λ≠0,即λ∈(-1,0)∪(0,1)時，有=1,P點的軌跡是橢圓.

②當λ=0時，方程x²+y²=9,P的軌跡是圓.

③1-λ²＜0，即λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時，方程為=1,P點的軌跡是雙曲線.

④1-λ²=0，即λ=±1時，方程為y=0, P點的軌跡是直線.

（2）過點A₁且斜率為1的直線方程為y=x＋3.

當λ=時，曲線方程為=1.

由得5x²+18x+9=0,x₁=-3,x₂=-.從而|A₁B|=|x₂-x₁|=.

設C（－9，y），|A₁C|=,

因為△A₁BC是正三角形，|A₁B|=|A₁C|，,即y²=-，無解.

所以在直線x=9上找不到點C，使△A₁BC是正三角形.