Question

在（1）和（2）中可以任選一題作答
（1）在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）上求一點(diǎn)，使它到直線C₂：

x=2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數(shù)）的距離最小，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)和最小距離．
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l相交于A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，

5

)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（1）先將曲線C₁與直線C₂化為普通方程，所求問題轉(zhuǎn)化為與直線C₂平行且且與圓C₁相切的切線問題，進(jìn)而得到答案．
（2）（Ⅰ））由圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ，得ρ2=2

5

ρsinθ，進(jìn)而可化為普通方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再與圓C的方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，使用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出答案．

解答：解：（1）將曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）化為普通方程（x-1）²+y²=1．
將直線C₂：

x=2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數(shù)）消去參數(shù)t化為普通方程x+y=1+2

2

．
設(shè)與直線C₂平行且與圓C₁相切的直線l的方程為x+y=t，如圖所示：
聯(lián)立

x+y=t (x-1)2+y2=1

消去y得到（x-1）²+（x-t）²=1，即2x²-2（1+t）x+t²=0，
∵△=0，∴4（t+1）²-8t²=0，解得t=1±

2

，
當(dāng)取t=1+

2

時(shí)，切點(diǎn)M到直線C₂：x+y=1+2

2

的距離最小，此時(shí)，由方程2x2-2(2+

2

)x+(1+

2

)2=0解得x1=x2=

2+ 2

2

，得y=

2

2

，
∴切點(diǎn)M(

2+ 2

2

，

2

2

)．
其最小距離為

|1+2 2 -(1+ 2 )|

12+12

=1．

∴要求的點(diǎn)的坐標(biāo)和最小距離分別是切點(diǎn)M(

2+ 2

2

，

2

2

)，1．
（2）（Ⅰ）由圓C的方程為：ρ=2

5

sinθ，∴ρ2=2

5

ρsinθ，∴x2+y2=2

5

y，即x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程x+y=3+

5

．
聯(lián)立

x+y=3+ 5 x2+y2=2 5 y

解得

x=1 y=2+ 5

或

x=2 y=1+ 5

，不妨設(shè)A（1，2+

5

），B（2，1+

5

），
∴|PA|+|PB|=

(1-3)2+(2+ 5 - 5 )2

+

(2-3)2+(1+ 5 - 5 )2

=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，然后解決直線與圓的相切與相交問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的問題及較強(qiáng)的計(jì)算能力是解決問題的關(guān)鍵．