Question

定義在上的函數(shù)滿足：①對任意都有：；②當時，，回答下列問題．

（1）證明：函數(shù)在上的圖像關于原點對稱；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由．

（3）證明：，.

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）利用條件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱；（2）利用單調(diào)性定義進行判斷，結合第（1）小題的結論進行化簡和①②兩個條件對結果的符號進行判斷；（3）結合條件①把左邊式子的第項化為，由此左邊可以化為，再利用第（2）小題的結論得出，原不等式得證.

試題解析：（1）令，

令，則.

所以，在上是奇函數(shù)． 4分

（2）設，則

， 6分

而，， 7分

即當時，．

∴在上單調(diào)遞減． 8分

（3）

，

，

.

. 13分

考點：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，轉化與化歸思想.