Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為．

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知為定直線上一點(diǎn).

①過點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）①直線與的斜率之積為定值．

②點(diǎn)在定直線上．

【解析】試題分析：（1）設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2），

①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上．

試題解析：（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，

由，得，化簡得，

即點(diǎn)在軌跡的方程為；

（2）因?yàn)?/span>為直線上一點(diǎn)，所以令，

①令，由，得，即，即，

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

而的斜率分別為，

于是，

即直線與的斜率之積為定值

．

②令，則，

令點(diǎn)，則，

即，即

由①×③，②×④，得，

因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

⑤×2+⑥×3，得

，即，

所以點(diǎn)在定直線上．

本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．