Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是（）⁴的展開式中的第二項．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值，并用含x的式子表示公比q；
（Ⅱ）用n，x表示通項a_n與前n項和S_n；
（Ⅲ）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，有a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，由二項式系數(shù)的性質，可得，解可得；即m=3，寫出的展開式中的通項的第二項，即可得公比；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，可得a₁與公比，可得等比數(shù)列的通項為a_n=x^n-1，分x=1與x≠1兩種情況討論，分別求出S_n，綜合可得答案；
（Ⅲ）分x=1與x≠1兩種情況討論，當x=1時，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，倒序相加可得2A_n=n（C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ），由二項式定理可得2A_n=n•2ⁿ，化簡可得A_n=n•2^n-1，當x≠1時，，代入可得A_n的表達式，綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹
∴，解可得；
∴m=3，
由的展開式中的通項公式知q=，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹=C₆⁶•A₁¹=1，其公比為x，
則a_n=x^n-1，
當x=1時，a_n=1，S_n=1+1+…+1=n，
當x≠1時，S_n==，
則；
（Ⅲ）當x=1時，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ①
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n，②
①+②可得：2A_n=n（C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
當x≠1時，，

則．
點評：本題考查等比數(shù)列的求和、二項式定理的應用；注意對等比數(shù)列求和時，討論公比是否為1．