Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點(diǎn)D是劣弧

BC

的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)，與過(guò)C點(diǎn)的切線交于P，OD與BC相交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：OE=

1

2

AC；
（Ⅱ）求證：

PD

PA

=

BD2

AC2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)锳B為⊙O直徑，所以AC⊥BC，因?yàn)镈是弧

BC

的中點(diǎn)，由垂徑定理得OD⊥BC，因此OD∥AC．再由點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，能證明OE=

1

2

AC．
（Ⅱ）連接CD，因?yàn)镻C是⊙O的切線，所以∠PCD=∠CAP，△PCD∽△PAC．由此能夠證明

PD

PA

=

BD2

AC 2

．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B為⊙O直徑，
所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，
因?yàn)镈是弧

BC

的中點(diǎn)，由垂徑定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC  （3分）
又因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為
BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E=

1

2

AC  （2分）
（Ⅱ）證明：連接CD，因?yàn)镻C是⊙O的切線，
所以∠PCD=∠CAP，
又∠P是公共角，
所以△PCD∽△PAC．
得

PC

PA

=

PD

PC

=

CD

AC

，
∴

PC

PA

×

PD

PC

=

CD

AC

×

CD

AC

，
∴

PD

PA

=

CD2

AC2

． （3分）
因?yàn)镈是弧

BC

的中點(diǎn)，所以CD=BD，因此

PD

PA

=

BD2

AC 2

．   （2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．