已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點,點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N,點An、Bn、An+1構(gòu)成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形.
(1)求數(shù)列{yn}2的通項公式,并證明{yn}3是等差數(shù)列;
(2)證明xn+2-xn5為常數(shù),并求出數(shù)列{xn}6的通項公式;
(3)問上述等腰三角形An8Bn9An+110中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
,可得數(shù)列{yn}的通項公式,進(jìn)而有{yn}是等差數(shù)列;
(2)根據(jù)△AnBnAn+1與△An+1Bn+1An+2為等腰三角形,可得
xn+xn+1
2
=n
xn+1+xn+1
2
=n+1
,兩式相減,即可求出數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)要使△AnBnAn+1為直角三角形,則xn+1-xn=2(
n
4
+
1
12
)
,根據(jù)(2)分n為奇數(shù)、偶數(shù)時,進(jìn)行討論,可求此時a值.
解答:解:(1)∵點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12

yn=
1
4
n+
1
12

yn+1-yn=
1
4

∴{yn}是等差數(shù)列;
(2)∵△AnBnAn+1與△An+1Bn+1An+2為等腰三角形
xn+xn+1
2
=n
xn+1+xn+1
2
=n+1
.∴xn+2-xn=2
xn=
n+a-1(n為奇數(shù))
n-a(n為偶數(shù))

(3)要使△AnBnAn+1為直角三角形,則xn+1-xn=2(
n
4
+
1
12
)

當(dāng)n為奇數(shù)時,xn+1-xn=2(1-a),∴2(
n
4
+
1
12
)=2(1-a)

a=
11
12
-
n
4
(n為奇數(shù),0<a<1)

n=1,得a=
2
3
,n=3得a=
1
6
,n≥5,則無解;
當(dāng)n為偶數(shù)時,同理得a=
1
12
n
4
(n為偶數(shù),0<a<1)

 n=2,得 a=
7
12
,n≥4,則無解;
∴存在直角三角形,此時a值為
2
3
1
6
,
7
12
點評:本題以函數(shù)為載體,考查數(shù)列知識,考查數(shù)列的通項,考查分類討論思想,有較強的綜合性.
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已知點列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x4
上的點,點列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對任意的n∈N*,點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形.
(Ⅰ)求證:對任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅱ)問是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點,點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N,點An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點的等腰三角形.
(1)求{yn}的通項公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
(2)試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•上海模擬)已知點列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x4
上的點,點列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對任意的n∈N*,點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形.
(1)證明:數(shù)列{yn}是等差數(shù)列;
(2)求證:對任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)對上述等腰三角形AnBnAn+1添加適當(dāng)條件,提出一個問題,并做出解答.(根據(jù)所提問題及解答的完整程度,分檔次給分)

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(2011•藍(lán)山縣模擬)已知點列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N?)順次為拋物線y=
1
4
x2上的點,過點Bn(n,bn)作拋物線y=
1
4
x2的切線交x軸于點An(an,0),點Cn(cn,0)在x軸上,且點An,Bn,Cn構(gòu)成以點Bn為頂點的等腰三角形.
(1)求數(shù)列{an},{cn}的通項公式;
(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn為直角三角形,若有,請求出n;若沒有,請說明理由.
(3)設(shè)數(shù)列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n項和為Sn,求證:
2
3
≤Sn
4
3

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