Question

【題目】設(shè)， .

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論在區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）是否存在，使得在區(qū)間上與軸相切？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用二次求導(dǎo)易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于最小值的大小，討論其最小值與零的大小得到極值點(diǎn)個(gè)數(shù)， （3）由題意得在區(qū)間上與軸相切切點(diǎn)為極值點(diǎn)，由（2）得 ，再根據(jù)極值點(diǎn)定義可得方程組 ，解得

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)：，（）

故

當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí)：．

故的減區(qū)間為：，增區(qū)間為

（2）

令，故,,

顯然，又當(dāng)時(shí)：．當(dāng)時(shí)：．

故，，．

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

注意到：當(dāng)時(shí)，，故在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由的符號(hào)決定．

①當(dāng)，即：或時(shí)：在區(qū)間上無零點(diǎn)，即無極值點(diǎn)．

②當(dāng)，即：時(shí)：在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，即有唯一極值點(diǎn)．

綜上：當(dāng)或時(shí)：在上無極值點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)：在上有唯一極值點(diǎn)．

（3）假設(shè)存在，使得在區(qū)間上與軸相切，則必與軸相切于極值點(diǎn)處，

由（2）可知：．不妨設(shè)極值點(diǎn)為，則有：

…（*）同時(shí)成立．

聯(lián)立得：，即代入（*）可得．

令，．

則，，當(dāng) 時(shí) （2）．

故在上單調(diào)遞減．又， ．

故在上存在唯一零點(diǎn)．

即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>，．

故在上無零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)．

由觀察易得，故，即：．

綜上可得：存在唯一的使得在區(qū)間上與軸相切．