(2013•浙江二模)如圖,過拋物線C:y2=4x上一點P(1,-2)作傾斜角互補的兩條直線,分別與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2
(1)求y1+y2的值;
(2)若y1≥0,y2≥0,求△PAB面積的最大值.
分析:(1)確定A(
y12
4
,y1),B(
y22
4
y2)
,可得kPA=
y1+2
y12
4
-1
=
4(y1+2)
y12-4
=
4
y1-2
,kPB=
4
y2-2
,利用kPA=-kPB,即可求得y1+y2的值;
(2)由(1)知kAB=
y2-y1
y22
4
-
y12
4
=1
,可得AB的方程x-y+y1-
y12
4
=0
,計算P到AB的距離,可得S△PAB的面積,再利用換元法,構(gòu)造函數(shù),即可求得S△PAB的最大值.
解答:解:(1)因為A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線C:y2=4x上,
所以A(
y12
4
y1),B(
y22
4
,y2)
,kPA=
y1+2
y12
4
-1
=
4(y1+2)
y12-4
=
4
y1-2
,
同理kPB=
4
y2-2
,依題有kPA=-kPB
所以
4
y1-2
=-
4
y2-2
,所以y1+y2=4.   (4分)
(2)由(1)知kAB=
y2-y1
y22
4
-
y12
4
=1
,
設(shè)AB的方程為y-y1=x-
y12
4
,即x-y+y1-
y12
4
=0
,P到AB的距離為d=
|3+y1-
y12
4
|
2
,AB=
2
|
y12
4
-
y22
4
|=
2
|y1-y2|=2
2
|2-y1|
,
所以
S△PAB=
1
2
×
|3+y1-
y12
4
|
2
×2
2
|2-y1|

=
1
4
|y12-4y1-12||y1-2|
=
1
4
|(y1-2)2-16||y1-2|
,(8分)
令y1-2=t,由y1+y2=4,y1≥0,y2≥0,可知-2≤t≤2.S△PAB=
1
4
|t3-16t|
,
因為S△PAB=
1
4
|t3-16t|
為偶函數(shù),只考慮0≤t≤2的情況,
記f(t)=|t3-16t|=16t-t3,f′(t)=16-3t2>0,故f(t)在[0,2]是單調(diào)增函數(shù),
故f(t)的最大值為f(2)=24,
所以S△PAB的最大值為6.(10分)
點評:本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查換元法,考查導數(shù)知識的運用,構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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x+
1
x
,x>0
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②若m⊥α,m⊥β,則α∥β;
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④若m⊥α,n⊥α,則m∥n.
上述命題中,所有真命題的序號是( 。

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