【題目】已知橢圓的焦距為,設(shè)右焦點為,過原點的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,線段的中點為,且.
(1)求弦的長;
(2)當(dāng)直線的斜率,且直線時, 交橢圓于,若點在第一象限,求證:直線與軸圍成一個等腰三角形.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:(1)關(guān)鍵求點A坐標(biāo)關(guān)系:設(shè),則根據(jù)條件表示, ,再根據(jù)向量數(shù)量積得,即得的長為.(2)證直線與軸圍成一個等腰三角形,就是證直線的斜率相反.先確定A點坐標(biāo),并求出橢圓方程,再設(shè)與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理可得兩點橫坐標(biāo)和與積的關(guān)系,代入直線的斜率公式,并化簡可證它們?yōu)橄喾搓P(guān)系.
試題解析:(1)因為橢圓: 的焦距為,則,
設(shè),則, , ,
,則,所以的長為.
(2)因為直線的斜率時,且直線,所以,設(shè), ,
∴由(1)知, ,所以,又半焦距為,所以橢圓,聯(lián)解:
得,設(shè),則, ,
設(shè)直線的斜率分別為,則, ,那么
,
所以直線與軸圍成一個等腰三角形.
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【題目】已知命題p:方程 + =1表示焦點在y軸上的橢圓,命題q:雙曲線 ﹣ =1的離心率e∈( , ),若命題p、q中有且只有一個為真命題,則實數(shù)m的取值范圍是
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【題目】有下列4個命題: ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆否命題;
②“若a>b,則a2>b2”的逆命題;
③“若x≤﹣3,則x2﹣x﹣6>0”的否命題;
④“若ab是無理數(shù),則a,b是無理數(shù)”的逆命題.
其中真命題的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足(2b﹣a)cosC=ccosA. (Ⅰ)求角C的大;
(Ⅱ)設(shè)y=﹣4 sin2 +2sin(C﹣B),求y的最大值并判斷當(dāng)y取得最大值時△ABC的形狀.
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【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(﹣∞,0]上是增函數(shù),設(shè) ,c=f(0.20.6),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.c<b<a
B.b<c<a
C.b<a<c
D.a<b<c
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【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,M,N分別是BC,AE,D1C的中點,AD=AA1 , AB=2AD. (Ⅰ)證明:MN∥平面ADD1A1;
(Ⅱ)求直線AD與平面DMN所成角θ的正弦值.
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【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且 a=2csinA
(1)確定角C的大;
(2)若c= ,且△ABC的面積為 ,求a+b的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=2,{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)2n+2+4對任意的n∈N*恒成立.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)是否存在非零整數(shù)λ,使不等式sin < 對一切n∈N*都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.
(3)各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{cn},滿足c39=a1007 , 且存在正整數(shù)k,使c1 , c39 , ck成等比數(shù)列,若數(shù)列{cn}的公差為d,求d的所有可能取值之和.
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