Question

【題目】已知圓O經(jīng)過橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)（b，）在橢圓C上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=，求直線l的傾斜角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

(1)先由題意得出 ,可得出與的等量關(guān)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求出與的值，從而得出橢圓的方程；(2)對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求出，然后進(jìn)行檢驗(yàn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)，先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值，從而求出直線的傾斜角.

（1）由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn)，所以橢圓焦距等于短軸長，可得，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，

即橢圓的方程為.

（2）圓的方程為，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，解得，不符合題意；

當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為，因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即.

將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：

，

判別式，即，

設(shè)，則 ，

所以，

解得，

所以直線的傾斜角為或.