Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a為常數(shù)，且a＞0），對于下列命題：
①函數(shù)f（x）在每一點處都連續(xù)；
②若a=2，則函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)；
③函數(shù)f（x）在R上存在反函數(shù)；
④函數(shù)f（x）有最大值

1

e4

；
⑤對任意的實數(shù)x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①只需說明在點x=0處連續(xù)，只需說明在x=0時，兩段都有意義且函數(shù)值相等；
②只需說明在x=0時，兩段導(dǎo)函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等；
③只需說明函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)來證；
④求導(dǎo)，判斷f（x）的單調(diào)性，從而求出極大值，也就是最大值；
⑤已知函數(shù)在R上先增后減，所以f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的下方，故⑤錯誤．

解答：解：①x=0時，（0-3）e⁰=-3，x=0時，2ax-3有意義，且2ax-3=-3，
∴函數(shù)f（x）在x=0處都連續(xù)，即函數(shù)f（x）在每一點處都連續(xù)；
∴①正確
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0時，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)；
∴②正確
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函數(shù)，在[4，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上不存在反函數(shù)；
∴③錯誤
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4時，f′（x）＞0，x＞4時，f′（x）＜0，
∴x=4時，f（x）有最大值為f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正確
⑤在函數(shù)f（x）[0，+∞）上任取兩點（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以兩點連線應(yīng)在圖象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤錯誤．
故答案為①②④

點評：連續(xù)就是函數(shù)圖象不間斷，在x=0可導(dǎo)就是導(dǎo)函數(shù)在兩段導(dǎo)函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等，函數(shù)在某一區(qū)間上不單調(diào)，就不會有導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，結(jié)合函數(shù)圖象，知上凸的函數(shù)圖象，任取兩點，兩點連線應(yīng)在圖象的下方，過兩點中點作x軸的垂線，與圖象的交點在上，交點縱坐標(biāo)為f（

x1+x2

2

），與線段的交點在下，交點縱坐標(biāo)為

f(x1) +f(x2)

2

．