（本題滿分14分）
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；
（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。

(1)(2) (3)

解析試題分析：解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標(biāo)是(x0,y0),
由   得
又點P在橢圓上,得,
∴線段PA中點M的軌跡方程是.
(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時,設(shè)該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.
∴S△ABC的最大值是.
考點：橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：解決的關(guān)鍵是利用橢圓的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，同時聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來表示軌跡方程，結(jié)合距離公式得到面積，屬于基礎(chǔ)題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

雙曲線與橢圓有相同的焦點,且該雙曲線
的漸近線方程為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 過該雙曲線的右焦點作斜率不為零的直線與此雙曲線的左，右兩支分別交于點、，
設(shè)，當(dāng)軸上的點滿足時，求點的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題共14分）
已知橢圓C：，左焦點，且離心率
(Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點（不是左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A.   求證：直線過定點,并求出定點的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，點P的坐標(biāo)為（-a，b）.
（1）若直角坐標(biāo)平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分）
設(shè)點到直線的距離與它到定點的距離之比為，并記點的軌跡為曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程;
（Ⅱ）設(shè)，過點的直線與曲線相交于兩點，當(dāng)線段的中點落在由四點構(gòu)成的四邊形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，）。
（Ⅰ）求C1的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）當(dāng)C1與C2有兩個公共點時，求實數(shù)的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率為，過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，為弦的中點。
（1）求直線（為坐標(biāo)原點）的斜率；
（2）設(shè)橢圓上任意一點，且，求的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問3分，（Ⅱ）小問9分．）
直線稱為橢圓的“特征直線”，若橢圓的離心率．（1）求橢圓的“特征直線”方程；
（2）過橢圓C上一點作圓的切線，切點為P、Q，直線PQ與橢圓的“特征直線”相交于點E、F，O為坐標(biāo)原點，若取值范圍恰為，求橢圓C的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知點，，△的周長為6．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點的直線與曲線相交于不同的兩點，．若點在軸上，且，求點的縱坐標(biāo)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案