Question

設函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）過坐標原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標為.

Answer 1

（1）減區(qū)間為,增區(qū)間，（2），（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，有四個步驟.一是求出定義域：，二是求導數(shù)，三是分析導數(shù)符號變化情況：，四是根據(jù)導數(shù)符號寫出對應單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間為,增區(qū)間.（2）已知函數(shù)單調(diào)性研究參數(shù)范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題. 因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以對任意恒成立.而恒成立問題又利用變量分離法解決,即對任意恒成立. 因此（3）求切點問題，從設切點出發(fā)，利用切點處導數(shù)等于切線斜率列等量關系：.解這類方程，仍需利用導數(shù)分析其單調(diào)性，利用零點存在定理解決.
試題解析：解: （1）時, ，
 ，                  1分
，
的減區(qū)間為,增區(qū)間.                3分
（2）
在區(qū)間上是減函數(shù)，
對任意恒成立，
即對任意恒成立，                5分
對任意恒成立，
令，
，                                       7分
易知在單調(diào)遞減，.
.                                            8分
（3）設切點為，，
切線的斜率，又切線過原點，
，
存在性：滿足方程，
所以，是方程的根.                  11分
再證唯一性：設，，
在單調(diào)遞增，且，
所以方程有唯一解.
綜上，切點的橫坐標為.                              13分