【題目】已知函數(shù)f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明: 且n>1)
【答案】
(1)解:∵f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,
∴x>1, ,
∵x>1,∴當(dāng)k≤0時, >0,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)k>0時,f(x)在(1,1+ )上是增函數(shù),在(1+ ,+∞)上為減函數(shù)
(2)解:∵f(x)≤0恒成立,
∴x>1,ln(x﹣1)﹣k(x1)+1≤0,
∴x>1,ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1,
∴k>0.
由(1)知,f(x)max=f(1+ )=ln ≤0,
解得k≥1.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,+∞)
(3)證明:令k=1,則由(2)知:ln(x﹣1)≤x﹣2對x∈(1,+∞)恒成立,
即lnx≤x﹣1對x∈(0,+∞)恒成立.
取x=n2,則2lnn≤n2﹣1,
即 ,n≥2,
∴ 且n>1)
【解析】(1)由f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,知x>1, ,由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)由f(x)≤0恒成立,知x>1,ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1,故k>0.f(x)max=f(1+ )=ln ≤0,由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.(3)令k=1,能夠推導(dǎo)出lnx≤x﹣1對x∈(0,+∞)恒成立.取x=n2 , 得到 ,n≥2,由此能夠證明 且n>1).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ .
(1)當(dāng)a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為 ,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下底面棱A1B1、B1C1的中點(diǎn),P是上底面棱AD上的一點(diǎn),,過P、M、N三點(diǎn)的平面交上底面于PQ, Q在CD上,則PQ等于( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點(diǎn).
(1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明:直線EE1∥平面FCC1;
(2)證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C;
(3)求點(diǎn)D到平面D1AC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的圖象的相鄰兩對稱中心的距離為π,且f(x+ )=f(﹣x),則函數(shù)y=f( ﹣x)是( )
A.偶函數(shù)且在x=0處取得最大值
B.偶函數(shù)且在x=0處取得最小值
C.奇函數(shù)且在x=0處取得最大值
D.奇函數(shù)且在x=0處取得最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直棱柱ABC-中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),=AC=CB=AB.
(Ⅰ)證明://平面;
(Ⅱ)求二面角D--E的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a(x﹣1). (Ⅰ)當(dāng)a=1時,解不等式|f(x)|+|f(﹣x)|≥3x;
(Ⅱ)設(shè)|a|≤1,當(dāng)|x|≤1時,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB的中點(diǎn).
(1)求證:AM∥平面PCD;
(2)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N在何處時,直線MN與平面PAB所成的角最大?并求出最大角的正弦值.
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