Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），且對(duì)于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，則x的取值范圍為（　�。�

• A． （0，2）
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）∪（{2，+∞}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，2}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件即可判斷出f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，從而可由$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$得出$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$，進(jìn)而得出$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$，解該不等式即可得出x的取值范圍．

解答 解：由條件知，f（x）是偶函數(shù)，在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$；
∴$f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜f（-\frac{1}{3}）$；
∴$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$；
∴$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$；
解得$0＜x＜\frac{1}{2}$，或x＞2；
∴x的取值范圍為$（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查減函數(shù)和偶函數(shù)的定義，不等式的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的定義，含絕對(duì)值不等式的解法．