【題目】如圖,四邊形是正方形,平面,分別為的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求平面與平面所成銳二面角的大。

(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線所成的角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)存在,且

【解析】

試題分析:(1)要證明線面平行,只要證線線平行,由中位線定理易得,注意寫(xiě)出線面平行判定定理的所有條件,都能得出結(jié)論;(2)求二面角,圖形中有交于同一點(diǎn)的兩兩相互垂直的三條直線,如,以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,可寫(xiě)出圖中各點(diǎn)坐標(biāo),從而求得平面與平面的法向量,由法向量的夾角可得二面角(本題要求的是銳二面角);(3)存在性命題,研究性命題,一般假設(shè)存在,并設(shè),其中,這樣可得出點(diǎn)坐標(biāo),由向量和向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值等于出兩異面直線的夾角的余弦,由引可求得(如求不出,說(shuō)明不存在),進(jìn)而可得線段長(zhǎng).

試題解析:(1)證明:因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),所以

平面平面

所以平面

(2)因?yàn)?/span>平面

所以平面

所以,又因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形,所以

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),所以

所以

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即

再令,得

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即

再令,得,所以

所以平面與平面所成銳二面角的大小為;

(3)假設(shè)在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為

依題意可設(shè),其中,由,則

又因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)橹本與直線所成角為,

所以,即

所以

所以在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為,此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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